slimarray: gzip的压缩率, 即时访问

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本文链接: https://blog.openacid.com/algo/slimarray/

slimarray: gzip的压缩率, 即时访问

slimarray

场景和问题

在时序数据库, 或列存储为基础的系统中, 很常见的形式就是存储一个整数数组, 例如 slim 这个项目按天统计的 star 数:

Stargazers over time

这类数据有有很明显的统一的变化趋势, 对这类数据的存储, 我们可以利用数据分布的特点, 将整体数据的大小压缩到几分之一. 这就是 slimarray 要做的事情.

使用 slimarray, 可以将数据容量减小到gzip差不多的大小, 同时还能允许直接访问这些数据! 测试中我们选择了2组随机数, 以及现实中的2份数据, 一个ipv4的数据库, 一个 slim 的star变化数据, 服用 slimarray 后效果如下:

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在达到gzip同等压缩率的前提下, 构建 slimarray 和 访问的性能也非常高:

本文手把手的介绍 slimarray 的原理, 实现:

初步想法: 前缀压缩

假设我们有一个包含4个元素的uint32的整数数组:

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前缀压缩的思路就是把每个元素的公共部分提取出来单独存储, 这样每个单独元素就只需要存储它跟公共部分差异的部分, 从而大大降低存储空间. (因为公共部分在大多数情况中都在前面(例如现实中大部分被存储的数据都是排序的, 或近似于排序的), 所以一般提取公共部分的压缩都是前缀压缩)

在这个例子中, 我们看到最小的数是1005, 那么就把它作为公共部分提取出来, 再单独存储每个数字剩余的部分(和prefix的差异), 最后存储的内容如下:

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可以看到这种表示方法中, 固定的部分Prefix大小不变, 影响整个存储效率的是deltas, 而它只需要记录每个原始值跟前缀之间的差, 最大是5, 也就是说每个delta 只需要3 bit就够了.

当数据较多时, 均摊空间开销将近似于3 bit/elt.

现在我们换一个视角, 我们可以把要存储的数值看做是一个坐标系中的4个点: 横轴表示数组下标, 纵轴表示数字的值.

于是前缀压缩就可以看成是: 记录一条水平直线(y = 1005), 再记录数组中实际数值跟这条直线之间的y轴方向距离:

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🤔!!!

从坐标系这种视角, 似乎还可以进一步减小存储空间, 考虑到现实中, 一个数组中的数值, 可能是趋向于一个持续的变化(如递增的), 而不是围绕某个特定值的(如1005).

例如大家的账上余额, 应该是逐月递增的🤔.

所以, 先描述这个趋势, 再用delta数组去修正到正确值, 应该可以更大程度的降低delta的取值范围. 作者经过仔细认真的观察和研究, 突然间发现可以定义一条直线方程, 再通过delta数组去修正, 就是这个样子:

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这样描述数值趋势, delta的最大值只有3, 只需要2个bit就可以了. 于是当数据量增大时, 均摊空间效率就是 2 bit/elt.

显然, 用更高次的曲线去拟合, 可以更贴合原始点, 得到更高的压缩率. 例如使用2次曲线, 可以得到如下一份配置:

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这里每个delta只需要1个bit就够了.

按照这种思路, 在给定数组中找到一条曲线来描述点的趋势, 再用一个比较小的delta数组修正曲线到实际点的距离, 得到原始值, 就可以实现大幅度的数据压缩. 而且所有的数据都无需解压全部数据就直接读取任意一个.

找到趋势函数

寻找这样一条曲线就使用线性回归, 例如在 slimarray 中使用2次曲线 f(x) = β₁ + β₂x + β₃x², 所要做的就是确定每个βᵢ的值, 以使得f(xⱼ) - yⱼ的均方差最小. xⱼ是数组下标0, 1, 2…; yⱼ是数组中每个元素的值.

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现在要找到一组β, 使得均方差最小:

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在上面这个函数里, 把 β 看做变量, 要找极值的话就看这个函数对 β 的导数何时为0:

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于是得到 β 跟点集的关系为:

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构建slimarray, 也就是压缩数据的过程, 就是把数组下标作为向量X, 数组元素的值作为向量Y,带入到上面的式子取得β, 再逐点计算曲线到点的距离, 生成delta数组.

寻找最佳分段拟合策略

实现

描述分区的数据结构: span

最后我们将整个数组划分为若干个16*k 大小的分区(span)后, 接下来需要将每个 span 的信息存储起来.

我们用一个 bitmap 来表示 span 对应原始数组的区间: bitmap 中的一个 bit 代表 16 个数组元素, 置位的位置表示一个 span 的最后一个16个数字的位置, 例如:

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在上面这个 bitmap 中的前3个 span 对应的区间分别是:

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当需要从数组下标i找到对应的 span 时, 就统计一下 bitmap 中第 i/16 个 bit 之前1的个数:

这个操作非常快, 在go代码中对应的是math/bit.OnesCount()函数(其他语言中也叫做population count), 一般只需要一个汇编指令:

spanIndex = OnesCount(bitmap & (1<<(i/16) - 1))

读取过程

读取过程通过找span, 读取span配置,还原原始数据几个步骤完成, 假设 slimarray 的对象是sa:

简化的读取逻辑如下:

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实际实现中, 还将整个数组划分成多个1024元素大小的段, 以减少x变大时产生的误差.

在用曲线拟合的方式中还有一些额外的好处, 例如某些对整个数组的统计操作可以通过曲线的计算来简化:

求和的优化设计

对 slimarray 中一段数据的求和运算会变得非常高效, 对n个数字yᵢ的求和可以转化为简单的数值计算:

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如果有必要, 也可以也存储一个span的Σdᵢ的值, 这样每个 span 需要额外的 64bit, 换来的是对 span 范围内的求和操作优化到 O(1) 的复杂度.

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